题目

题型：填空题难度：一般来源：不详

若函数f(x)＝x³－ax²(a>0)在区间上是单调增函数，则使方程f(x)＝1 000有整数解的实数a的个数是________．

答案

4

解析

令f′(x)＝3x²－2ax>0，则x>或x<0.
由f(x)在区间上是单调增函数知⊆，从而a∈(0,10]．由f(x)＝1 000得a＝x－，令g(x)＝x－，则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，且与x轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g(x)与y＝a(0<a≤10)的大致图像(如图所示)．当a＝10时，由f(x)＝1 000得x³－10x²－1 000＝0.令h(x)＝x³－10x²－1 000，因为h(14)＝－216<0，h(15)＝125>0，所以方程x³－10x²－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x₀，因此从图像可以看出在(10，x₀]之间f(x)＝1 000共有4个整数解．