题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若k=2 04,关于x的方程f(x)=2ax有唯一解,求a的值.
答案
当k是偶数时,f(x)在(0,
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(2)
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解析
且f′(x)=2x-(-1)k·
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当k是奇数时,f′(x)>0,
则f(x)在(0,+∞)上是增函数;
当k是偶数时,
则f′(x)=2x-
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所以当x∈(0,
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当x∈(
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故当k是偶数时,f(x)在(0,
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(2)若k=2 014,
则f(x)=x2-2aln x(k∈N*).
记g(x)=f(x)-2ax=x2-2aln x-2ax,
则g′(x)=2x-
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则方程f(x)=2ax有唯一解,即g(x)=0有唯一解.
令g′(x)=0,得x2-ax-a=0.
因为a>0,x>0,
所以x1=
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x2=
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当x∈(0,x2)时,g′(x)<0,g(x)在(0,x2)上是单调减函数;当x∈(x2,+∞)时,g′(x)>0,g(x)在(x2,+∞)上是单调增函数.
当x=x2时,g′(x2)=0,g(x)min=g(x2).
因为g(x)=0有唯一解,所以g(x2)=0.则
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两式相减得2aln x2+ax2-a=0,
因为a>0,所以2ln x2+x2-1=0.(*)
设函数h(x)=2lnx+x-1.
因为当x>0时,h(x)是增函数,所以h(x)=0至多有一个解.
因为h(1)=0,所以方程(*)的解为x2=1.
从而解得a=
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核心考点
试题【已知函数f(x)=x2-2acos kπ·ln x(k∈N*,a∈R,且a>0).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若k=2 04,关于x的方程f(x】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)设P,Q是函数f(x)图像上相异的两点,证明:直线PQ的斜率大于0;
(2)求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcos x在
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A.(-∞,1) | B.(-∞,1] |
C.(0,1) | D.(-∞,+∞) |
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则方程f[g(x)]=0有且仅有________个根,方程
f[f(x)]=0有且仅有________个根.
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