题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)设P,Q是函数f(x)图像上相异的两点,证明:直线PQ的斜率大于0;
(2)求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axcos x在
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答案
解析
所以函数f(x)=x+sin x在R上单调递增.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1≠x2,
则
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所以直线PQ的斜率大于0.
(2)当a≤0时,x∈
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当a>0时,令g(x)=f(x)-axcos x=x+sin x-axcos x,
则g′(x)=1+cos x-a(cos x-xsin x)
=1+(1-a)cos x+axsin x.
①当1-a≥0,即0<a≤1时,g′(x)=1+(1-a)cos x+axsin x>0,所以g(x)在
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所以g(x)≥g(0)=0+sin 0-a·0·cos 0=0,符合题意.
所以0<a≤1;
②当1-a<0,即a>1时,
令h(x)=g′(x)=1+(1-a)cos x+axsin x,
于是h′(x)=(2a-1)sin x+axcos x.
因为a>1,所以2a-1>0,从而h′(x)≥0.
所以h(x)在
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所以h(0)≤h(x)≤h
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即2-a≤h(x)≤
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即2-a≤g′(x)≤
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(ⅰ)当2-a≥0,即1<a≤2时,g′(x)≥0,所以g(x)在
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于是g(x)≥g(0)=0,符合题意.
所以1<a≤2;
(ⅱ)当2-a<0,即a>2时,存在x0∈
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综上所述,实数a的取值范围为(-∞,2].
核心考点
试题【已知函数f(x)=x+sin x.(1)设P,Q是函数f(x)图像上相异的两点,证明:直线PQ的斜率大于0;(2)求实数a的取值范围,使不等式f(x)≥axco】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
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A.(-∞,1) | B.(-∞,1] |
C.(0,1) | D.(-∞,+∞) |
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则方程f[g(x)]=0有且仅有________个根,方程
f[f(x)]=0有且仅有________个根.
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