题目

题型：解答题难度：一般来源：0112 期中题

已知二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1。
（1）求f（x）的解析式； 
（2） 当x∈[-1，1]时，不等式：f（x）>2x+m恒成立，求实数m的范围；
（3）设g（t）=f（2t+a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值。

答案

解：（1）令f（x）=代入：
得：
∴∴f（x）=x²-x+1
（2）①当x∈[-1，1]时，f（x）>2x+m恒成立即：x²-3x+1>m恒成立；
令，x∈[-1，1]则对称轴：x=∈[-1，1]，
g（x）_min=g（1）=-1，∴m≤-1；
（3）g（t）=f（2t+a）=4t²+（4a-2）t+a²-a+1，t∈[-1，1]，
对称轴为：t=，
当≥0时，即：a≤；如图1，
，
；
②当时，即a>；如图2，
，
g（t）_max=g（1)=4+(4a-2)+a²-a+1=a²+3a+3；
综上所述：。