已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1．（1）求证：|b|≤1；（2）若f（0）=-1，f（1）=1， - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1．
（1）求证：|b|≤1；
（2）若f（0）=-1，f（1）=1，求f（x）的表达式．

答案

证明：（1）由已知得|f（-1）|=|a-b+c|≤1，|f（1）|=|a+b+c|≤1
∴|2b|=|f（1）-f（-1）|≤|f（1）|+|f（-1）|≤2
∴|b|≤1
（2）若-

＜-1，则f（x）在[-1，1]为增函数，
∴f（-1）＜f（0），f（0）=-1
∴|f（-1）|＞1与|f（-1）|≤1矛盾；
若-

＞1，则f（x）在[-1，1]为减函数，
∴f（1）＜f（0）与已知矛盾．
所以-

∈[-1，1]，从而由

f(0)=-1

f(1)=1

|f(-

)|≤1

解得

a=2

b=0

c=-1

∴f（x）=2x²-1

核心考点

试题【已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1．（1）求证：|b|≤1；（2）若f（0）=-1，f（1）=1，】；主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f（x）=ax²+bx-1（a，b为实数），x∈R，
（1）若不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜-3或x＞1}，求f（x）在区间[-2，3）的值域；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-1，1]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

设函数f（x）=x²+2x-1，若a＜b＜1且f（a）=f（b）则ab+a+b的取值范围为______．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

若不等式ax²-2ax+1＞0 对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（　　）

A．a≤0或a≥4

B．a≤0或a＞1

C．0≤a＜1

D．0≤a≤4

题型：单选题难度：简单| 查看答案

对一切实数x，所有的二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＜b）的值均为非负实数，则

b-a

a+b+c

的最大值是______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件：f（2）=f（0）=0，且方程f（x）=x有两个相等实根．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．

题型：解答题难度：一般| 查看答案

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