题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

已知函数f(x)=x²-2|x|。
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断函数f(x)在(-1，0)上的单调性并加以证明。

答案

解：（1）f(x)是偶函数，定义域是R，
∵f(-x)=(-x)²-2|-x|=x²-2|x|=f(x)，
∴函数f(x)是偶函数。
（2）f(x)是单调递增函数，
证明：当x∈(-1，0)时，f(x)=x²+2x，
设-1＜x₁＜x₂＜0，则x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞-2，即x₁+x₂+2＞0，
∵f(x₁)-f(x₂)=(x₁²-x₂²)+2(x₁-x₂)=(x₁-x₂)(x₁+x₂+2)＜0，
∴f(x₁)＜f(x₂)，
∴函数f(x)在(-1，0)上是单调递增函数。