函数f(x)，x∈R，且f(x)不恒为0．若对于任意实数x1，x2，都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数。 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：解答题难度：一般来源：同步题

函数f(x)，x∈R，且f(x)不恒为0．若对于任意实数x₁，x₂，都有f(x₁+x₂)+f(x₁-x₂)=2f(x₁)·f(x₂)，求证：f(x)为偶函数。

答案

证明：令x₁=0，x₂=x，则得f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)， ①
又令x₁=x，x₂=0，得f(x)+f(x)=2f(x)f(0)， ②
由①②得f(-x)=f(x)，
∴f(x)是偶函数．

核心考点

试题【函数f(x)，x∈R，且f(x)不恒为0．若对于任意实数x1，x2，都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2)，求证：f(x)为偶函数。】；主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]

举一反三

判断下列函数的奇偶性：
(1)

；
(2)f(x)=x⁴+x；
(3)

。

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已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=x²-x+2，求f(x)，g(x)的解析式．

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函数f(x)=

是定义在(-1，1)上的奇函数，且

，
(1)确定函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(-1，1)上是增函数；
(3)解不等式f(t-1)+f(t)＜0．

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设偶函数f(x)满足f(x)=2^x-4(x≥0)，则{x|f(x-2)＞0}=

[ ]

A．{x|x＜-2或x＞4}
B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6}
D．{x|x＜-2或x＞2}

题型：单选题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=

，则有 [ ]
A．f(x)是奇函数，且

B．f(x)是奇函数，且

C．f(x)是偶函数，且

D．f(x)是偶函数，且

题型：单选题难度：简单| 查看答案

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