题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
函数f(x)定义为对每个给定的实数x(x≠p1),f(x)=
|
(1)当p1=2时,求证:y=f1(x)图象关于x=2对称;
(2)求f(x)=f1(x)对所有实数x(x≠p1)均成立的条件(用p1、p2表示);
(3)设a,b是两个实数,满足a<b,且p1,p2∈(a,b),若f(a)=f(b)求证:函数f(x)在区间[a,b]上单调增区间的长度之和为
b-a |
2 |
答案
(2)若对任意实数f(x)=f1(x),∴∀x∈R,f1(x)≤f2(x)均成立
即lg|x-p1|≤lg(|x-p2|+2),由对数的单调性可知|x-p1|≤|x-p2|+2均成立,∴|x-p1|-|x-p2|≤2,又∵|x-p1|-|x-p2|的最大值为|p1-p2|
所以p1,p2满足|p1-p2|≤2
(3)①当|p1-p2|≤2时,由(2)可知f(x)=f1(x)=lg|x-p1|
由(1)可知函数f(x)=f1(x)关于x=p1对称,由f(a)=f(b),可知p1=
a+b |
2 |
而f1(x)=
|
a+b |
2 |
b-a |
2 |
②当|p1-p2|>2时,不妨设a<p1<p2<b,即p2-p1>2,
当x<p1时,f1(x)=lg(p1-x)<lg(p2-x)<f2(x),所以f(x)=f1(x)
当x>p2时,f1(x)=lg(x-p1)=lg(x-p2-+p2-p1)>f2(x),所以f(x)=f2(x)
当p1<x<p2时,y=f1(x)与y=f2(x)图象交点的横坐标为x0=
p1+p2 |
2 |
由(1)知f(x)=
|
故由y=f1(x)与y=f2(x)单调性可知,增区间长度之和为(x0-p1)+(b-p2),由于f(a)=f(b),得p1+p2=a+b+2
所以(x0-p1)+(b-p2)=b-
p1+p2 |
2 |
b-a |
2 |
当p1>p2时,同理可证增区间长度之和仍为
b-a |
2 |
核心考点
试题【已知函数f1(x)=lg|x-p1|,f2(x)=lg(|x-p2|+2)(x∈R,p1,p2为常数)函数f(x)定义为对每个给定的实数x(x≠p1),f(x)】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.y=x2 | B.y=x3-x | C.y=
| D.y=2x |
A.y=x4-3 | B.y=x2,x∈(-3,3] | ||
C.y=-
| D.y=2(x-1)2+1 |
2 |
1 | ||
|
3 |
1 | ||
|
A.a>b>c | B.b>c>a | C.c>a>b | D.c>b>a |
x1+x2 |
2 |
1 |
2 |
(1)求证:当a<0时,函数f(x)是凸函数;
(2)对任意x∈(0,1],f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围.
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