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题目
题型:解答题难度:一般来源:南宁模拟
已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,其图象均在x轴的上方,对任意的m、n∈[0,+∞),都有f(m•n)=[f(m)]n,且f(2)=4,又当x≥0时,其导函数f′(x)>0恒成立.
(Ⅰ)求F(0)、f(-1)的值;
(Ⅱ)解关于x的不等式:[f(
kx+2
2


x2+4
)]2≥2
,其中k∈(-1,1).
答案
(1)由f(m•n)=[f(m)]n得:f(0)=f(0×0)=[f(0)]0
∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,
∴f(0)>0,∴f(0)=1(3分)
∵f(2)=f(1×2)=[f(1)]2=4,又f(x)>0
∴f(1)=2,f(-1)=f(1)=2(3分)
(2)[f(
kx+2
2


x2+4
)]2≥2⇔f(
kx+2
2


x2+4
•2)≥2⇔f(
kx+2


x2+4
)≥f(±1)⇔f(
|kx+2|


x2+4
)≥f(1)

又当x≥0时,其导函数f"(x)>0恒成立,
∴y=f(x)在区间[0,+∞)上为单调递增函数
|kx+2|


x2+4
≥1⇔|kx+2|≥


x2+4
⇔(k2-1)x2+4kx≥0

①当k=0时,x∈{0};
②当-1<k<0时,x(x-
4k
1-k2
)≤0⇔
4k
1-k2
≤x≤0

x∈[
4k
1-k2
,0]

③当0<k<1时,x(x-
4k
1-k2
)≤0⇔0≤x≤
4k
1-k2

x∈[0,
4k
1-k2
]

综上所述:当k=0时,x∈{0};当-1<k<0时,x∈[
4k
1-k2
,0]

当0<k<1时,x∈[0,
4k
1-k2
]
核心考点
试题【已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,其图象均在x轴的上方,对任意的m、n∈[0,+∞),都有f(m•n)=[f(m)]n,且f(2)=4,又当x≥0时,其】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
不等式|x-1|≥kx-2对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=0和x=2处取得极值,且函数y=f(x)的图象经过点(1,0).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设A、B为函数y=f(x)图象上任意相异的两个点,试判定直线AB和直线4x+y-3=0的位置关系并说明理由;
(3)设函数g(x)=x2+mx+6,若对任意t∈[-2,2]且x∈[-2,2],f(t)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
对于函数f(x),若存在x0∈R,使得f(x0)=x0,则称x0为函数f(x)的不动点.若函数f(x)=
x2+a
bx-c
(b,c∈N*)有且仅有两个不动点0和2,且f(-2)<-
1
2

(1)试求函数f(x)的单调区间,
(2)已知各项不为0的数列{an}满足4Sn•f(
1
an
)=1,其中Sn表示数列{an}的前n项和,求证:(1-
1
an
)an+1
1
e
<(1-
1
an
)an

(3)在(2)的前题条件下,设bn=-
1
an
,Tn表示数列{bn}的前n项和,求证:T2011-1<ln2011<T2010
题型:解答题难度:一般| 查看答案
(文科)已知函数f(x)=
1
3
ax3+bx2+2x-1,g(x)=-x2+x+1
,若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象的一个公共点P的横坐标为1,且两曲线在点P处的切线互相垂直.
(1)求实数a,b的值;
(2)对任意x1,x2∈[-1,1],不等式f(x1)+k<g(x2)恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ln(x-1)-k(x-1)+1
(1)求函数f(x)的极值点.
(2)若f(x)≤0恒成立,试确定实数k的取值范围.
(3)证明:
ln2
3
+
ln3
8
+
ln4
15
+…+
lnn
n2-1
(n+4)(n-1)
6
(n∈N,n>1).
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