题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解关于x的不等式f(x)-f(

1

x-1

)≥2．

答案

（1）对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，
不妨设x=y=0，则f（0）=0，
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x）
⇒f（x）+f（-x）=0
⇒f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数；
（2）∵f（1）=1，f（x+y）=f（x）+f（y）
∴f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）=2，
不等式化为f(x)＞f(

1

x-1

)+2⇒f(x)＞f(

1

x-1

)+f(2)⇒f(x)＞f(

1

x-1

+2)（*）
∵当x≠y时，f（x）≠f（y），
x＞0时，有f（x）＞0，
设x₂＞x₁＞0则：f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=f（2x₂）+f（-x₁-x₂）=f（x₂-x₁），又x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）-f（x₁）＞0⇒f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在（0，+∞）上递增，由f（x）为奇函数，
∴x＜0时必有f（x）＜0，加之f（0）=0，
于是f（x）在R上为增函数．
根据（*）式不等式化为：x＞

1

x-1

+2⇒（x-1）（x²-3x+1）＞0，
利用穿针线法得：
不等式的解集为：{x|

3- 5

2

＜x＜1或x＞

3+ 5

2

}．