题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明;
(2)试问:当-3≤x=0≤3时,x=1是否有最值?如果有,求出最值;如果没有,说明理由.
答案
令y=-x,则f(0)=f(-x)+f(x),
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,
(2)设-3≤x1<x2≤3,令y=-x1,x=x2
则f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1),
因为x>0时,f(x)<0,
故f(x2-x1)<0,即f(x2)-f(x1)<0.
∴f(x2)<f(x1)、f(x)在区间[-3,3]上单调递减,
∴x=-3时,f(x)有最大值,
f(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-[f(2)+f(1)]=-[f(1)+f(1)+f(1)]=6.
x=3时,f(x)有最小值为f(3)=-6.
核心考点
试题【设定义在R上的函数f(x)对于任意x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且f(1)=-2,当x>0时,f(x)<0(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证】;主要考察你对函数的奇偶性与周期性等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)若x>0时,f(x)>0,证明:f(x)在R上为增函数;
(3)在条件(2)下,若f(1)=2,解不等式:f(x2+1)-f(2x+5)<4.
1 |
2 |
x-y |
1-xy |
1 |
2 |
2an |
1+an2 |
(I )证明:f(x)在(-1,1)上是奇函数
( II )求f(an)的表达式;
(III)设bn=
1 |
2log2|f(an+1) |
m |
15 |
|
设P1(x1,y1),P2=f(P1),P3=f(P2),…,Pn=f(Pn-1),….如果存在一个圆,使所有的点Pn(xn,yn)(n∈N*)都在这个圆内或圆上,那么称这个圆为点Pn(xn,yn)的一个收敛圆.特别地,当P1=f(P1)时,则称点P1为映射f下的不动点.
(Ⅰ) 若点P(x,y)在映射f下的象为点Q(2x,1-y).
①求映射f下不动点的坐标;
②若P1的坐标为(1,2),判断点Pn(xn,yn)(n∈N*)是否存在一个半径为3的收敛圆,并说明理由.
(Ⅱ) 若点P(x,y)在映射f下的象为点Q(
x+y |
2 |
x-y |
2 |
5 |
A.5 | B.1 | C.0 | D.-5 |
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