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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,是否存在这样的实数a,使得不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立?若存在,试求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
解法一:由条件得1-ax-x2<2-a对于x∈[0,1]恒成立
令g(x)=x2+ax-a+1,只需g(x)在[0,1]上的最小值大于0即可.
g(x)=x2+ax-a+1=(x+
a
2
2-
a2
4
-a+1.
①当-
a
2
<0,即a>0时,g(x)min=g(0)=1-a>0,∴a<1,故0<a<1;
②当0≤-
a
2
≤1,即-2≤a≤0时,g(x)min=g(-
a
2
)=-
a2
4
-a+1>0,∴-2-2


2
<a<-2+2


2
,故-2≤a≤0;
③当-
a
2
>1,即a<-2时,g(x)min=g(1)=2>0,满足,故a<-2.
故存在实数a,使得不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立,其取值范围是(-∞,1).
解法二:由1-ax-x2<2-a得(1-x)a<x2+1,
∵x∈[0,1],∴1-x≥0,
∴①当x=1时,0<2恒成立,此时a∈R;
②当x∈[0,1)时,a<
x2+1
1-x
恒成立.
求当x∈[0,1)时,函数y=
x2+1
1-x
的最小值.
令t=1-x(t∈(0,1]),则y=
x2+1
1-x
=
(1-t)2+1
t
=t+
2
t
-2,
而函数y=t+
2
t
-2是(0,1]上的减函数,所以当且仅当t=1,即x=0时,ymin=1.
故要使不等式在[0,1)上恒成立,只需a<1,
由①②得a<1.
故存在实数a,使得不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立,其取值范围是(-∞,1).
核心考点
试题【设函数f(x)是定义在(-∞,+∞)上的增函数,是否存在这样的实数a,使得不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0,1]都成立?若存在,试求出实】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=lg(ax-bx),(其中a、b为常数,且a>1,b>0),若x∈(1,+∞)时,f(x)>0恒成立,则(  )
A.a-b≥1B.a-b>1C.a-b≤1D.a=b+1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知f(x+1)=|x|-|x+2|,则f(log23)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
在实数集R中定义一种运算“*”,对任意a,b∈R,a*b为唯一确定的实数,且具有性质:
(1)对任意a,b∈R,a*b=b*a;
(2)对任意a∈R,a*0=a;
(3)对任意a,b∈R,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(c*b)-2c.
关于函数f(x)=(2x)*
1
2x
的性质,有如下说法:①函数f(x)的最小值为3;②函数f(x)为奇函数;③函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-
1
2
),(
1
2
,+∞)
.其中所有正确说法的个数为(  )
A.0B.1C.2D.3
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)是R上的奇函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1)时,f(-2013)+f(2012)的值为(  )
A.-2B.-1C.1D.2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=loga(8-2x)(a>0且a≠1)
(1)若函数f(x)的反函数是其本身,求a的值;
(2)当a>1时,求函数y=f(x)+f(-x)的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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