题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=x²-（a²-a）x-2
（1）若当x∈[1，3]时，f（x）为单调函数，求a的取值范围；
（2）求函数f（x）在[2，4]上的最大值g（a）；
（3）求g（a）的最大值．

答案

（1）∵函数f（x）=x²-（a²-a）x-2的图象是开口方向朝上，以x=

a2-a

2

为对称轴的抛物线
若当x∈[1，3]时，f（x）为单调函数，
则

a2-a

2

≤1，或

a2-a

2

≥3
解得a≤-2，或-1≤a≤2，或a≥3
故a的取值范围为（-∞，-2]∪[-1，2]∪[3，+∞）
（2）当

a2-a

2

≥3，即a≤-2，或a≥3时，f（x）在[2，4]上的最大值g（a）=f（2）=-2（a²-a）+2；
当

a2-a

2

＜3，即-2＜a＜3时，f（x）在[2，4]上的最大值g（a）=f（4）=-4（a²-a）+14；
故g（a）=

-2a2+2a+2，a≤-2，或a≥3 -4a2+4a+14，-2＜a＜3

（3）由（2）得当a≤-2，或a≥3时时，g（a）的最大值为-10
当-2＜a＜3时g（a）的最大值为15
故g（a）的最大值为15