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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
1
x2
+1

(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明;
(2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值.
答案
(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.(2分)
证明如下:
设x1、x2是区间(0,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,则(1分)f(x1)-f(x2)=(
1
x12
+1)
-(
1
x22
+1)
=
(x1+x2)(x2-x1)
(x1x2)2
(3分)
∵x2>x1>0
∴x1+x2>0、x2-x1>0、(x1x22>0(1分)
∴f(x1)-f(x2)>0即f(x1)>f(x2
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.(1分)
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,(1分)
所以当x=1时,取最大值,最大值为f(1)=2
当x=3时,取最小值,最小值为f(3)=
10
9
(3分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=1x2+1.(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明;(2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值.】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
设函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a>1).
(1)若f(x)的最小值为3,求a的值;
(2)在(1)的条件下,求使得不等式f(x)≤5成立的x的取值集合.
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已知函数f(x)=ax+k(a>0且a≠1)的图象过点(-1,1),其反函数f-1(x)的图象过点(8,2).(1)求a,k的值
(2)若将y=f-1(x)的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,就得到函数y=g(x)的图象,写出y=g(x)的解析式
(3)若函数F(x)=g(x2)-f-1(x),求F(x)的最小值及取得最小值时x的值.
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已知函数f(x)=





2x-1,  x<0
x-2,   x>0
那么f(-1)+f(1)=______.
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函数f(x)=lg(x2-2x-3)的递增区间是______.
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已知f(x)=





x2-x      x≤0
1+2lgx   x>0
若f(x)=2,则x=______.
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