题目

题型：解答题难度：一般来源：上海

已知函数f(x)=3x-

1

3|x|

．
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若3^tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[

1

2

，1]恒成立，求实数m的取值范围．

答案

解（1）当x＜0时，f（x）=3^x-3^x=0，
∴f（x）=2无解；
当x＞0时，f(x)=3x-

1

3x

，3x-

1

3x

=2，
∴（3^x）²-2•3^x-1=0，
∴3x=1±

2

．
∵3^x＞0，
∴3x=1-

2

（舍）．
∴3x=1+

2

，
∴x=log3(

2

+1)．
（2）∵t∈[

1

2

，1]，
∴f(t)=3t-

1

3t

＞0，
∴3t(32t-

1

32t

)+m(3t-

1

3t

)＞0．
∴3t(3t+

1

3t

)+m＞0，
即t∈[

1

2

，1]时m＞-3^2t-1恒成立
又-3^2t-1∈[-10，-4]，
∴m＞-4．
∴实数m的取值范围为（-4，+∞）．