题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
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(Ⅰ)求f(-1)及f(2)的值;
(Ⅱ)试探求对一切整数n,f(n)是否一定是整数?并证明你的结论.
答案
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f(2)=
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(Ⅱ)(1)先用数学归纳法证明:对一切正整数n,f(n)是整数.
①当n=1时,f(1)=1,结论成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N)时,结论成立,即f(k)=
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=f(k)+k4+4k3+6k2+4k+1
根据假设f(k)是整数,而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数.
∴f(k+1)是整数,从而当n=k+1时,结论也成立.
由①、②可知对对一切正整数n,f(n)是整数.…(7分)
(2)当n=0时,f(0)=0是整数.…(8分)
(3)当n为负整数时,令n=-m,则m是正整数,由(1)f(m)是整数,
所以f(n)=f(-m)=
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综上,对一切整数n,f(n)一定是整数.…(10分)
核心考点
试题【已知多项式f(n)=15n5+12n4+13n3-130n.(Ⅰ)求f(-1)及f(2)的值;(Ⅱ)试探求对一切整数n,f(n)是否一定是整数?并证明你的结论.】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)解不等式f(x)<0;
(2)试推断函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出其最小值;若不存在,说明理由.
1-2x |
1+x |
x |
1+|x| |
①等式f(-x)+f(x)=0对x∈R恒成立;
②若f(x1)≠f(x2),则一定有x1≠x2;
③若m>0,方程|f(x)|=m有两个不等实数根;
④函数g(x)=f(x)-x在R上有三个零点.
其中正确结论的序号有______.(请将你认为正确的结论的序号都填上)
(1)若f(x)在[-2,2]上不单调,求b的取值范围;
(2)若f(x)≥|x|对一切x∈R恒成立,求证:b2+1≤4c;
(3)若对一切x∈R,有f(x+
1 |
x |
2x2+3 |
x2+1 |
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