题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f（x）=ax，g（x）=|x-a|，a∈R．
（1）当a=2时，解不等式f（x）＞g（x）；
（2）记F（x）=f（x）-g（x），判断F（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）设G（x）=f（x）g（x），且G（x）在[1，+∞）上递增，求实数a的取值范围．

答案

（1）2x＞|x-2|⇔-2x＜x-2＜2x，得解集为(

2

3

，+∞)…（4分）
（2）F（x）=ax-|x-a|，
当a=0时，F（x）=-|x|，F（-x）=-|-x|=-|x|，
所以F（x）=F（-x），F（x）为偶函数；…（6分）
当a≠0，F（a）=a²，F（-a）=-a²-2|a|
∴F（a）+F（-a）=-2|a|≠0
  F（a）-F（-a）=2a²+2|a|≠0
所以，F（x）为非奇非偶函数．  …（10分）
（3）G(x)=ax|x-a|=

a(x- a 2 )2- a3 4 x≥a -a(x- a 2 )2+ a3 4 x＜a

，…（12分）
①当a=0时，G（x）=0是常数函数，不合题意．
当a＞0时，G（x）在[a，+∞）和(-∞，

a

2

]上递增，所以a∈（0，1]．…（15分）
②当a＜0时，G（x）在[a，

a

2

]上递增，在[

a

2

，+∞)和（-∞，a]上递减，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是（0，1]…（18分）