当前位置:高中试题 > 数学试题 > 函数的单调性与最值 > 已知函数f(x)=1+a•2x2x+1是奇函数.(1)求实数a的值;(2)判断函数f(x)在R上的单调性并用定义法证明;(3)若对任意x∈R+不等式f(x+2x...
题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
1+a•2x
2x+1
是奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断函数f(x)在R上的单调性并用定义法证明;
(3)若对任意x∈R+不等式f(x+
2
x
-


m
)≤-
1
3
恒成立,求实数m的范围.
答案
(1)由题意,f(-x)=-f(x),
1+a•2-x
2-x+1
=-
1+a•2x
2x+1

a+2-x
2x+1
=-
1+a•2x
2x+1

∴a=-1;
(2)f(x)=
1-2x
2x+1
=-1+
2
2x+1
在R上为减函数,证明如下:
设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=
2
2x1+1
-
2
2x2+1
=
2x2+1-2x1+1
(2x1+1)(2x2+1)

∵x1<x2,∴2x2+1-2x1+1>0
∴f(x1)-f(x2)>0
∴f(x1)>f(x2
∴f(x)在R上为减函数;
(3)不等式f(x+
2
x
-


m
)≤-
1
3
恒成立,等价于f(x+
2
x
-


m
)≤f(1)

∵f(x)在R上为减函数
x+
2
x
-


m
≤1



m
≤x+
2
x
-1

∵x>0,∴x+
2
x
-1≥2


2
-1



m
≤2


2
-1

∴0≤m≤9-4


2
核心考点
试题【已知函数f(x)=1+a•2x2x+1是奇函数.(1)求实数a的值;(2)判断函数f(x)在R上的单调性并用定义法证明;(3)若对任意x∈R+不等式f(x+2x】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}=(  )
A.{x|x≤0或1≤x≤4}B.{x|0≤x≤4}
C.{x|x≤4}D.{x|0≤x≤1或x≥4}
题型:单选题难度:简单| 查看答案
一艘轮船1小时的燃料费P元与速度v(公里/小时)的函数关系为P=kv3.已知速度为每小时10公里时,燃料费是每小时5元,而其它和速度无关的费用是每小时80元.
(1)求k的值;
(2)已知甲,乙两地相距100公里,问该轮船以多大的速度行驶时,从甲地行驶到乙地所需的费用总和为最小?
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=log
1
2
ax-2
x-1
(a为常数).
(1)若常数a<2且a≠0,求f(x)的定义域;
(2)若f(x)在区间(2,4)上是减函数,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
函数y=3


x-1
+4


5-x
的最大值是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R)

(1)若x=1为f(x)的极值点,求a的值;
(2)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值;
(3)当a≠0时,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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