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题目
题型:解答题难度:一般来源:宣武区一模
已知函数f(x)=
1
3
x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R)

(1)若x=1为f(x)的极值点,求a的值;
(2)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值;
(3)当a≠0时,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.
答案
(1)f′(x)=x2-2ax+a2-1
∵x=1是f(x)的极值点,
∴f′(1)=0,即a2-2a=0,解得a=0或2;(3分)
(2)∵(1,f(1))在x+y-3=0上.∴f(1)=2
∵(1,2)在y=f(x)上,∴2=
1
3
-a+a2-1+b
又f′(1)=-1,
∴1-2a+a2-1=-1∴a2-2a+1=0,
解得a=1,b=
8
3
f(x)=
1
3
x2-x2+
8
3
,f′(x)=x2-2x

由f′(x)=0可知x=0和x=2是极值点.
f(0)=
8
3
,f(2)=
4
3
,f(-2)=-4,f(4)=8

∴f(x)在区间[-2,4]上的最大值为8.(8分)
(3)因为函数f(x)在区间(-1,1)不单调,
所以函数f′(x)在(-1,1)上存在零点.
而f′(x)=0的两根为a-1,a+1,区间长为2,
∴在区间(-1,1)上不可能有2个零点.
所以f′(-1)f′(1)<0,∵a2>0,
∴(a+2)(a-2)<0,-2<a<2.
又∵a≠0,∴a∈(-2,0)∪(0,2).(12分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=13x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R),(1)若x=1为f(x)的极值点,求a的值;(2)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))】;主要考察你对函数的单调性与最值等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数f(x)=


1-ax
a-1
(a≠1)
在[-1,0]上是增函数,则实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=





x-1,x>0
x+1,x≤0
,则f[f(
1
2
)]
=(  )
A.
1
2
B.-
1
2
C.
3
2
D.-
3
2
题型:单选题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=
1
3
x3
+3x-2的零点个数为(  )
A.0个B.1个C.2个D.3个
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=log
1
2
(x2-6x+5)
,则此函数的单调递减区间是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知a>0,b>0,且
a
1+a
b
1+b
,则a与b的大小关系是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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