题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)=x-

4

x

（1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）求函数f(x)=x-

4

x

，x∈[-2，-1]的值域．

答案

（本题14分）
（1）证明：定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
∵f(-x)=-x-

4

-x

=-x+

4

x

=-(x-

4

x

)=-f(x)
∴f（x）为奇函数
（2）证明：对于任意x₁，x₂∈（0，+∞）设x₁＜x₂
则f(x1)-f(x2)=x1-

4

x1

-(x2-

4

x2

)=(x1-x2)-(

4

x1

-

4

x2

)=(x1-x2)+

4(x1-x2)

x1x2

=(x1-x2)(1+

4

x1x2

)
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）f（x）为奇函数且在（0，+∞）上是增函数
∴f（x）在（-∞，0）上为增函数
∴f_max（x）=f（-1）=-1+4=3f_min（x）=f（-2）=-2+2=0
∴f（x）的值域为[0，3]．