题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知三次函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（1）=0，f′（2）=3，f′（3）=12．
（Ⅰ）求f（x）-f（0）的表达式；
（Ⅱ）若对任意的x∈[-1，4]，都有f（x）＞f"（x）成立，求f（0）的取值范围．

答案

（Ⅰ）设f（x）=ax³+bx²+cx+d，则f′（x）=3ax²+2bx+c．
∴

3a+2b+c=0 12a+4b+c=3 27a+6b+c=12

即

a=1 b=-3 c=3

．
∴f（x）-f（0）=x³-3x²+3x．
（Ⅱ）f′（x）=3x²-6x+3，∵对任意的x∈[-1，4]，f（x）＞f′（x）成立
∴f（x）-f′（x）=x³-6x²+9x+f（0）-3＞0．
∴f（0）＞-x³+6x²-9x+3
设F（x）=-x³+6x²-9x+3，则F′（x）=-3x²+12x-9．
令F′（x）=0得x=1或x=3，∴x=1和x=3是函数的极值点．
又F（-1）＞F（3），F（-1＞F（1），F（-1）＞F（4）
∴F（x）在[-1，4]上的最大值为F（-1）=19．f（0）的取值范围是（19，+∞）．