题目

题型：解答题难度：一般来源：广东三模

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f"（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：|g(x)|≤

1

12

a(3a+2)2．

答案

解 （I）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）
∴f"（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）
依题意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，
∴

3a-2b-a2=0 12a+4b-a2=0

(a＞0)．
解得

a=6 b=-9

，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．
（II）∵f"（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），
依题意，x₁，x₂是方程f"（x）=0的两个根，且|x1|+|x2|=2

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8．
∴(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a²（6-a），则p"（a）=-9a²+36a．
由p"（a）＞0得0＜a＜4，由p"（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为4

6

．
（III）证明：∵x₁，x₂是方程f"（x）=0的两根，
∴f"（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．
∵x1•x2=-

a

3

，x₂=a，
∴x1=-

1

3

．
∴|g(x)|=|3a(x+

1

3

)(x-a)-a(x+

1

3

)|=|a(x+

1

3

)[3(x-a)-1]|
∵x₁＜x＜x₂，即-

1

3

＜x＜a．
∴|g(x)|=a(x+

1

3

)(-3x+3a+1)
∴|g（x）|=-3a(x+

1

3

)(x-

3a+1

3

)=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a2+

1

3

a≤

3a3

4

+a2+

1

3

a=

a(3a+2)2

12

．
∴|g（x）|≤

a

12

(3a+2)2成立．