题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且当0＜x＜1时，都有f（x）＞1成立．
（1）判断并证明f（x）在定义域（0，+∞）上的单调性；
（2）若f（9）=7，解不等式：f（x²+2x）＞4

答案

（1）函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．证明如下：
     设0＜x₁＜x₂，则 0＜

x1

x2

＜1，于是有：f(

x1

x2

)＞1
      f（x₁）=f(x2•

x1

x2

)=f（x₂）+f(

x1

x2

)-1＞f（x₂）+1-1=f（x₂）
      即：f（x₁）＞f（x₂）．
      由函数的单调性定义可知：函数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数．
（2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有
     f（x²+2x）＞4=f（3），又有（1）的结论以及函数f（x）的定义域为（0，+∞），得不等式组：
    

x2+2x＞0 3＞0 x2+2x ＜3

，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1
所以：（1）数f（x）在定义域（0，+∞）上是一个减函数
          （2）不等式f（x²+2x）＞4的解集为：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}