题目
题型:不详难度:来源:
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B的两条性质.
答案
解析
试题分析:(1)利用旋转的性质得出A′(-1,0),B′(0,2),再利用待定系数法求二次函数解析式即可;
(2)利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,得出一元二次方程,得出P点坐标即可;
(3)利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形,利用等腰梯形性质得出答案即可.
试题解析:(1)(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的,
又A(0,1),B(2,0),O(0,0),
∴A′(-1,0),B′(0,2)
设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线经过点A′、B′、B,
∴,解得:,
∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x2+x+2.
(2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点,
设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足y=-x2+x+2.
连接PB,PO,PB′,
∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,=×1×2+×2×x+×2×y=x+(-x2+x+2)+1=-x2+2x+3.
∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面积为:×1×2=1,
假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则
4=-x2+2x+3,
即x2-2x+1=0,
解得:x1=x2=1,
此时y=-12+1+2=2,即P(1,2).
∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.
(3)四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不唯一,①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等;③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.
考点: 二次函数综合题.
核心考点
试题【如图,直角坐标系中Rt△ABO,其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到Rt△A′B′O.(1)一抛物线】;主要考察你对二次函数定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
其中正确结论的个数为( )
A. 1个 B.2个 C.3 个 D.4 个
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP’C,那么是否存在点P,使四边形POP’C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
A. | B. |
C. | D. |
A.①② | B.②③ | C.①②④ | D.②③④ |
A.1 | B.2 | C.3 | D.4 |
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