题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)=

ax

ax+ a

．
（1）求f（x）+f（1-x）及f(

1

10

)+f(

2

10

)+…+f(

9

10

)=？
（2）是否存在正整数a，使

a f(n)

f(1-n)

＞n2对一切n∈N都成立．

答案

（1）f(x)=

ax

ax+ a

∴f（x）+f（1-x）=

ax

ax+ a

+

a1-x

a(1-x)+ a

=1
∴2[f(

1

10

)+f(

2

10

)+…+f(

9

10

)]=9
∴f(

1

10

)+f(

2

10

)+…+f(

9

10

)=

9

2

（2）由（1）得
f（1-n）=1-f（n）=

a

an+ a

∴

a f(n)

f(1-n)

=

a • an an+ a

a  an+ a

=aⁿ
则原不等式可化为：aⁿ＞n²
∵当a≥3时，aⁿ＞n²恒成立，
故存在正整数a≥3，使

a f(n)

f(1-n)

＞n2对一切n∈N都成立．