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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)=
ax
ax+


a

(1)求f(x)+f(1-x)及f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)
=?
(2)是否存在正整数a,使


a
f(n)
f(1-n)
n2
对一切n∈N都成立.
答案
(1)f(x)=
ax
ax+


a

∴f(x)+f(1-x)=
ax
ax+


a
+
a1-x
a(1-x)+


a
=1
∴2[f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)
]=9
f(
1
10
)+f(
2
10
)+…+f(
9
10
)
=
9
2

(2)由(1)得
f(1-n)=1-f(n)=


a 
an+


a



a
f(n)
f(1-n)
=


a
an
an+


a


a 
an+


a
=an
则原不等式可化为:an>n2
∵当a≥3时,an>n2恒成立,
故存在正整数a≥3,使


a
f(n)
f(1-n)
n2
对一切n∈N都成立.
核心考点
试题【已知f(x)=axax+a.(1)求f(x)+f(1-x)及f(110)+f(210)+…+f(910)=?(2)是否存在正整数a,使af(n)f(1-n)>n】;主要考察你对分段函数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知定义域为R,函数f(x)满足f(a+b)=f(a)•f(b)(a,b∈R),且f(x)>0,若f(1)=
1
2
,则f(-2)等于(  )
A.
1
2
B.
1
4
C.2D.4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
如果f(x)=





x2+1   (x≤0) 
-2x       (x>0)
那么f(f(1))=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:①对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
;②f(x)在(-1,1)上是单调递增函数,f(
1
2
)=1

(1)求f(0)的值;
(2)证明:f(x)为奇函数;
(3)解不等式f(2x-1)<1.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
定义R在上的函数f(x)为,对任意实数m,n,恒有f(m)•f(n)=f(m+n),且f(0)≠0,当x>0时,0<f(x)<1则:(1)f(0)=______.(2)当x<0时,1-f(x)______0.(填≤,≥,<,>)
题型:填空题难度:一般| 查看答案
A是定义在[2,4]上且满足如下两个条件的函数Φ(x)组成的集合:
①对任意的x∈[1,2],都有Φ(2x)∈(1,2);
②存在常数L(0<L<1),使得对任意的x1,x2∈[1,2],都有|Φ(2x1)-Φ(2x2)|≤L|x1-x2|;
(1)设Φ(x)=


[
3]1+x,x∈[2,4]
,证明:Φ(x)∈A;
(2)设Φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=Φ(2x0),那么,这样的x0是唯一的;
(3)设Φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=Φ(2xn),n=1,2,…,
证明:给定正整数k,对任意的正整数p,不等式|xk+p-xk|≤
Lk-1
1-L
|x2-x1|
成立.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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