题目

题型：解答题难度：困难来源：不详

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx(a、b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有等根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在实数m、n(m＜n)，使f(x)定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由．

答案

（1）f(x)＝－x²＋2x（2）存在m＝－1，n＝0，满足条件

解析

(1) f(x)＝－x²＋2x.
(2)由f(x)＝－x²＋2x＝－(x－1)²＋1，知f_max(x)＝1，∴ 4n≤1，即n≤＜1.
故f(x)在[m，n]上为增函数，∴解得 
∴存在m＝－1，n＝0，满足条件