题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f(x)＝x³(a>0且a≠1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的奇偶性；
(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．

答案

（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.

解析

(1)由于a^x－1≠0，则a^x≠1，所以x≠0，
所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．
(2)对于定义域内任意的x，有
f(－x)＝(－x)³＝－x³＝－x³＝x³＝f(x)所以f(x)是偶函数．
(3)①当a>1时，对x>0，
所以a^x>1，即a^x－1>0，所以＋>0.
又x>0时，x³>0，所以x³>0，
即当x>0时，f(x)>0.
由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，
则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．
综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．
②当0<a<1时，f(x)＝，
当x>0时，0<a^x<1，此时f(x)<0，不满足题意；
当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．
综上可知，所求a的取值范围是a>1