题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．
(1)当b＝2时，求f(x)的值域；
(2)若b为正实数，f(x)的最大值为M，最小值为m，且满足M－m≥4，求b的取值范围．

答案

（1）2 －3，0]（2）[10，＋∞)

解析

(1)当b＝2时，f(x)＝x＋－3，x∈[1，2]．
因为f(x)在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，
所以f(x)的最小值为f()＝2 －3.
又f(1)＝f(2)＝0，
所以f(x)的值域为[2 －3，0]．
(2)①当0＜b＜2时，f(x)在[1，2]上单调递增，
则m＝b－2，M＝－1，此时M－m＝－＋1≥4，得b≤－6，与0＜b＜2矛盾，舍去；
②当2≤b＜4时，f(x)在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增，所以M＝max{f(1)，f(2)}＝b－2，m＝f()＝2 －3，则M－m＝b－2 ＋1≥4，得(－1)²≥4，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾，舍去；
③当b≥4时，f(x)在[1，2]上单调递减，则M＝b－2，m＝－1，此时M－m＝－1≥4，得b≥10.综上所述，b的取值范围是[10，＋∞)．