题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知集合A={x|x²+a≤|a+1|x，a∈R}
（1）求A；
（2）若以a为首项，a为公比的等比数列前n项和记为S_n，问是否存在实数a使得对于任意的n∈N^*，均有S_n∈A．若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

答案

（1）由x²+a≤|a+1|x，a∈R，
得

a+1≥0 x2-(a+1)x+a≤0

或

a+1＜0 x2+(a+1)x+a≤0

∴a＞1时，1≤x≤a；-1≤a≤1时，a≤x≤1；a＜-1时，-1≤x≤-a
∴a＞1时，A={x|1≤x≤a}；-1≤a≤1时，A={x|a≤x≤1}；a＜-1时，A={x|-1≤x≤-a}
（2）①当a≥1时，A={x|1≤x≤a}，而当n=2时，S₂=a+a²，若S₂∈A，则1≤a+a²≤a，得

a2+a-1≥1 a2≤0 a≥1

，此不等式组的解集为空集，故a≥1时，不存在满足条件的实数a；
②当0＜a＜1时，A={x|a≤x≤1}；而Sn=a+a2+…+an=

a

1-a

(1-an)是关于n的增函数，且

lim

x→∞

Sn=

a

1-a

，故Sn∈[a，

a

1-a

)，故对任意的n∈N^*，要使S_n∈A，只需a满足

0＜a＜1 a 1-a ≤1

，解得0＜a≤

1

2

；
③当a＜-1时，A={x|-1≤x≤-a}，显然S₁=a∉A，故不存在满足条件的实数a；
④当a=-1时，A={x|-1≤x≤1}，S_2n-1=-1，S_2n=1，适合；
⑤当-1＜a＜0时，A={x|a≤x≤1}，S_2n+1=S_2n-1+a_2n+a_2n+1=S_2n-1+a²ⁿ+a²ⁿ⁺¹=S_2n-1+a²ⁿ（1+a）
∵a²ⁿ＞0，1+a＞0，∴a²ⁿ（1+a）＞0，∴S_2n+1＞S_2n-1S_2n+2=S_2n+a_2n+1+a_2n+2=S_2n+a²ⁿ⁺¹+a²ⁿ⁺²=S_2n+a²ⁿ⁺¹（1+a）
∵a²ⁿ⁺¹=a²ⁿ•a＜0，1+a＞0，∴a²ⁿ⁺¹（1+a）＜0，∴S_2n+2＜S_2n
又∵S2n+1-S2n=

a(1-a2n+1)

1-a

-

a(1-a2n)

1-a

=

a

1-a

(a2n-a2n+1)=

a2n+1(1-a)

1-a

=a²ⁿ⁺¹＜0
∴S_2n+1＜S_2n
而S₂=S₁+a²＞S₁，
故S₁＜S₃＜S₅＜S₇＜…＜S_2n+1＜…＜S_2n＜S_2n-2＜…＜S₄＜S₂
故对任意的n∈N^*，要使S_n∈A，只需

S2∈A S1∈A

，即

-1＜a＜0 a+a2≤1 a≥a

，解得-1＜a＜0
综上所述，a的取值范围是{a|0＜a≤

1

2

或-1≤a＜0}