题目

题型：北京期末题难度：来源：

如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中O₁和O₂分别为两个半圆的圆心，F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点。
（1）连结，
证明：；
（2）如图二，过点A分别作半圆O₁和O₂半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°，DB=5，CE=3，求线段PQ的长；
（3）如图三，过点A作半圆O₂的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA，证明：PA是半圆O₁的切线。

答案

解：（1）证明：如图一，∵，F分别是AB，AC，BC边的中点，
∴且，且，
∴，
∴，
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，
，
，
，
，
；（2）如图二，延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE
∵点E是半圆圆弧的中点，
∴AE=CE=3，
∵AC为直径，
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC=45°，AC=，
∵AQ是半圆的切线，
∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°，
∴AQ=AC=AG=，
同理：∠BAP=90°，AB=AP=，
∴CG=，∠GAB=∠QAP，
∴，
∴PQ=BG，
∵∠ACB=90°，
∴BC=，
∴BG=，
∴PQ=；（3）如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM。
∵F是BC边的中点，
∴，
∴BR=CS，
由（2）已证∠CAQ=90°，AC=AQ，
∴∠2+∠3=90°，
∵FM⊥PQ，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠2=∠4，
∴，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°，
∴∠ADB=∠ARB=90°，∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，
且∠DBR+∠DAR=180°，
∴∠5=∠8，∠6=∠7，
∵∠DAM+∠DAR=180°，
∴∠DBR=∠DAM
∴，
∴∠5=∠9，
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB，又AB是半圆直径，
∴PA是半圆的切线。