题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E。
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD∶AE=4∶5，BC=6，求⊙O的直径。

答案

解：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
又∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°，
∴BD⊥OD，
∴BD是⊙O切线；
（2）连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
又∵∠C=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴DE∥BC，
又∵D是AC中点，
∴AD=CD，
∴AD∶CD=AE∶BE，
∴AE=BE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD∶AE=AC∶AB，
∴AC∶AB=4∶5，
设AC=4x，AB=5x，那么BC=3x，
∴BC∶AB=3∶5，
∵BC=6，
∴AB=10，
∴AE=AB=10。