题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即 “以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即 “以形助数”。
如浙教版九上课本第109页作业题第2题：如图1，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足。易证得两个结论：
（1）AC·BC=AB·CD；
（2）AC²=AD·AB。
                         图1                                                       图2
（1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△ABC中（AC>BC），∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB，且BC、AC是方程x²-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长；
（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解： 设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d，且a最大。求证：a+d>b+c（提示：不访设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，构造图1）。

答案

解：（1）显然，方程x²-14x+48=0的两根为6和8，
又AC>BC，
∴AC=8，BC=6，
由勾股定理AB=10，
△ACD∽△ABC，得AC²=AD·AB
∴AD=6.4，
∵CM平分∠ACB，
∴AM：MB=AC：CB
解得，AM=
∴MD=AD-AM=；
（2）不访设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，
由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC
2AB·CD=2AC·BC，
又勾股定理，得AB²=AC²+BC²，
∴AB²+2AB·CD=AC²+BC²+2AC·BC（等式性质）
∴AB²+2AB·CD =（AC+BC）²
∴AB²+2AB·CD+CD²>（AC+BC）²
∴（AB+CD）²>（AC+BC）²
又AB、CD、AC、BC均大于零
∴AB+CD>AC+BC
即a+d>b+c。