题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

已知：如图，以一底角为67.5°的等腰梯形ABCD的一腰BC为直径做⊙O，交底AB于E，且恰与另一腰AD相切于M。

（1）求证：△EOM为等腰直角三角形；
（2）求的值。

答案

解：（1）证明：∵OＭ=OE
∴∠1=∠2=67.5°，
∵等腰梯形ABCD，
∴∠1=∠2=67.5°，
∴∠1=∠A，
∴OE∥AD，
∵AD与⊙O相切于M，
∴OM⊥AD，
∴OE⊥OM，
∴△EOM为等腰直角三角形；
（2）设⊙O的半径为r，OE=OM=r，
由（1）可知，∴∠OEM=45°，
∴ME=r，
∵∠3=180°-（∠OME+∠1）=180°-（67.5°+45°）=67.5°，
∴△AME∽△EOB，
∴BE∶AE=OE∶ME，
∴BE∶AE=r∶r=1∶=∶2。