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题目
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已知如图1,线段AB、CD相交于点O,连结AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”. 那么在这一个简单的图形中,到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥聪明才智,解决以下问题:
(1) 在图1中,请写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系,并说明理由;

(2)仔细观察,在图2中“8”字形”的个数      个;
(3)在图2中,若∠D=400,∠B=360,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N.利用(1)的结论,试求∠P的度数;

(4)如果图2中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系.(直接写出结论即可)。
答案
(1)∠A+∠D=∠C+∠B(2)6个(3)45°(4)2∠P=∠D+∠B
解析
(1)∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°,∠AOD=∠BOC,   2分
∴∠A+∠D=∠C+∠B;    
(2)①线段AB、CD相交于点O,形成“8字形”;
②线段AN、CM相交于点O,形成“8字形”;
③线段AB、CP相交于点N,形成“8字形”;
④线段AB、CM相交于点O,形成“8字形”;
⑤线段AP、CD相交于点M,形成“8字形”;
⑥线段AB、CD相交于点O,形成“8字形”;
故“8字形”共有6个;                                      2分     
(写到3个得1分)
(3)∠DAP+∠D=∠P+∠DCP,①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P,②     
∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,
∴∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,
①+②得:
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P,
即2∠P=∠D+∠B,                        
又∵∠D=50°,∠B="40°"  ∴2∠P=50°+40°,
∴∠P=45°;                                                  3分          
(4)关系:2∠P=∠D+∠B.                                          2分
(1)根据三角形内角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B;
(2)根据“8字形”的定义,仔细观察图形即可得出“8字形”共有6个;
(3)先根据“8字形”中的角的规律,可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①,∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②,再根据角平分线的定义,得出∠DAP=∠PAB,∠DCP=∠PCB,将①+②,可得2∠P=∠D+∠B,进而求出∠P的度数.
(4)根据三角形内角和定理和角平分线的定义求证
核心考点
试题【已知如图1,线段AB、CD相交于点O,连结AD、CB,我们把形如图1的图形称之为“8字形”. 那么在这一个简单的图形中,到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥】;主要考察你对相似图形性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
一个多边形截去一个内角后,形成另一个多边形的内角和是2340°,则原多边形的边数是( ▲  )
A.14B.16C.14或16D.14,15或16

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如图,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形,那么展开后三角形的周长是    (▲   )
A.2+B.2+2C.12D.18

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如图,D、E分别是AB、AC中点,现测得DE的长为50米,则池塘的宽BC是___________米.
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“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是___________ ▲________________
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已知:在△ABC中,∠A = 60°,如要判定△ABC是等边三角形,还需添加一个条件.
现有下面三种说法:
① 如果添加条件“AB = AC”,那么△ABC是等边三角形;
② 如果添加条件“tanB = tanC”,那么△ABC是等边三角形;
③ 如果添加条件“边AB、BC上的高相等”,那么△ABC是等边三角形.
上述说法中,正确的说法有
(A)3个;        (B)2个;      (C)1个;      (D)0个.
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