题目

题型：不详难度：来源：

已知：如图，在平面直角坐标系O中，矩形OABC的边OA在轴的正半轴上，OC在轴的正半轴上，OA=2，OC=3.过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E.

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G.如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

答案

（1）；（2）EF=GO成立；（3）Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）

解析

试题分析：（1）已知三点，可用待定系数法求出二次函数解析式；
（2）关键在于正确作出旋转后的图形，结合几何知识，利用数形结合的思想求解；
（3）应当明确△PCG构成等腰三角形有三种情况，逐一讨论求解，要求思维的完备性．
（1）由已知，得C（3，0），D（2，2），
∵∠ADE=90°-∠CDB=∠BCD，
∴AD=BC．AD=2．
∴E（0，1）
设过点E、D、C的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）．
将点E的坐标代入，得c=1．将c=1和点D、C的坐标分别代入，得


（2）EF=2GO成立．

∵点M在该抛物线上，且它的横坐标为，
∴点M的纵坐标为
设DM的解析式为y=kx+b₁（k≠0），将点D、M的坐标分别代入

∴DM的解析式为
∴F（0，3），EF=2．
过点D作DK⊥OC于点K，则DA=DK

∵∠ADK=∠FDG=90°，
∴∠FDA=∠GDK．
又∵∠FAD=∠GKD=90°，
∴△DAF≌△DKG．
∴KG=AF=1．
∵OC=3，
∴GO=1．
∴EF=2GO；
（3）∵点P在AB上，G（1，0），C（3，0），
则设P（t，2）．
∴PG²=（t-1）²+2²，PC²=（3-t）²+2²，GC=2．
①PG=PC，则（t-1）²+2²=（3-t）²+2²，
解得t=2．
∴P（2，2），此时点Q与点P重合，
∴Q（2，2）．（9分）
②若PG=GC，则（t-1）²+2²=2²，
解得t=1，
∴P（1，2），
此时GP⊥x轴．GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，
∴点Q的纵坐标为，
∴Q（1，）
③若PC=GC，则（3-t）²+2²=2²，解得t=3，
∴P（3，2），此时PC=GC=2，△PCG是等腰直角三角形．
过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH=GH，设QH=h，
∴Q（h+1，h）．

解得h₁=，h₂=-2（舍去）．
∴Q（，）．
综上所述，存在三个满足条件的点Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．