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题目
题型:山东省中考真题难度:来源:
数学课上,张老师给出了问题:如图(1),四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF 于点F,求证:AE=EF。
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EF,在此基础上,同学们作了进一步探究:
(1)小颖提出:如图(2),如果把“点E是边BC的中点” 改为“点E是边BC上(除B、C外)的任意一点”,其他条件不变,那么结论“AE= EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图(3),点E是BC的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF” 仍然成立,你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由。
答案
解:(1)正确,
证明:如图(1),在AB上取一点M,使AM=EC,连接ME,
∴BM=BE,
∴∠BME=45°,
∴∠AME=135°,
∵CF是正方形外角∠DCG的平分线, 
∴∠DCF=45°, 
∴∠BCF=135°, 
∴∠AME=∠ECF,
∵∠AEB+∠BAE=90°,∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠BAE=∠CEF,
∴△AME≌△ECF(ASA),
∴AE=EF; (2)正确,
证明:如图(2),
在BA的延长线上取一点N,使AN=CE,连接NE,
∴BN=BE,
∴∠N=∠FCE=45°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BE,
∴∠DAE=∠BEA,
∴∠NAE=∠CEF,
∴△ANE≌△ECF(ASA),
∴AE=EF。
核心考点
试题【数学课上,张老师给出了问题:如图(1),四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF 于点F,求证:AE】;主要考察你对全等三角形的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形,EF与GH交于点P。
(1)若AG=AE,求证:AF=AH;
(2)若∠FAH=45°,求证:AG+AE=FH;
(3)若Rt△GBF的周长为1,求矩形EPHD的面积。
题型:广东省中考真题难度:| 查看答案
如图,已知AC平分∠BAD,∠1=∠2,求证:AB=AD。

题型:福建省中考真题难度:| 查看答案
如图所示的4×4正方形网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=
[     ]
A.330°
B.315°
C.310°
D.320°
题型:安徽省中考真题难度:| 查看答案
如图,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,BE∥DF,求证:AF=CE。
题型:湖南省中考真题难度:| 查看答案
如图,△ACB≌△A′CB′,∠BCB′=30°,则∠ACA′的度数为
[     ]
A.20°
B.30°
C.35°
D.40°
题型:山西省中考真题难度:| 查看答案
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