题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

数学课上，张老师给出了问题：如图（1），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF 于点F，求证：AE=EF。
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF，在此基础上，同学们作了进一步探究：
（1）小颖提出：如图（2），如果把“点E是边BC的中点” 改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE= EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图（3），点E是BC的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF” 仍然成立，你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由。

答案

解：（1）正确，
证明：如图（1），在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=135°，
∵CF是正方形外角∠DCG的平分线，　
∴∠DCF=45°，　
∴∠BCF=135°，　
∴∠AME=∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF； （2）正确，
证明：如图（2），
在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，
∴BN=BE，
∴∠N=∠FCE=45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠NAE=∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF。