题目

题型：广东省中考真题难度：来源：

如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P。
（1）若AG=AE，求证：AF=AH；
（2）若∠FAH=45°，求证：AG+AE=FH；
（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积。

答案

解：（1）证明：连接AF、AH，由题意知四边形AGHD与四边形AEFB均为矩形，
∴AG=DH，AE=BF，
∵AG=AE，
∴DH=BF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ADH与Rt△ABF中，AB=AD，∠B=∠D=90°，BF=DH，
∴△ABF≌△ADH，
∴AF=AH；
（2）证明：连接FH，延长CD到I，使DI=BF，连接AI，
在△ABF与△ADI中，AB=AD，∠B=∠ADI=90°，BF=DI，
∴△ABF≌△ADI，
∴AF=AI，∠BAF=∠DAI，
∵∠BAD=90°，∠FAH=45°，
∴∠BAF+∠DAH=90°-45°=45°，
∴∠DAI+∠DAH=45°，
∴∠FAH=∠IAH=45°，
在△FAH与△IAH中，AF=AI，∠FAH=∠IAH，AH=AH，
∴△FAH≌△IAH，
∴FH=IH=DH+ID，
∵AG=DH，AE=BF=DI，
∴AG+AE=DH+DI=FH；
（3）连接GF，设BC=x，BF=y，则，
∴，
将该式两边平方得：x²+y²=x²+y²+1+2xy-2x-2y，
∴xy-x-y=-，
∴xy-x-y+1=，
∴（x-1）（y-1）=，
∴（1-x）（1-y）=，
∵EP=AG=1-x，PH=FC=1-BF=1-y，
∴矩形EPHD的面积为EP·PH=（1-x）（1-y）=。