题目

题型：山东省中考真题难度：来源：

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。

（1）求证：BE=AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。

答案

解：（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC，
∴△BAD≌△CBE，
∴AD=BE；
（2）∵E是AB中点，
∴EB=EA，
由（1）AD=BE得：AE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠7=∠ACB=45°，
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7，
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE，
即，AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角（CD=BD），
理由如下：由（2）得：CD=CE，
由（1）得：CE=BD，
∴CD=BD，
∴△DBC是等腰三角形。