题目
题型:浙江省竞赛题难度:来源:
(1)如图②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;
(2)如图③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。
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答案
解:在OP上任找一点E,过E分别做CE⊥OA于C,ED⊥OB于D。如图①,
(1)结论为EF=FD。
如图②,在AC上截取AG=AE,连接FG,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠1=∠2,
在△AEF与△AGF中,,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴∠AFE=∠AFG,FE=FG。
由∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,
∵2∠2+2∠3+∠B=180°,
∴∠2+∠3=60°,
又∠AFE为△AFC的外角,
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°,
∴∠CFG=60°,
即∠GFC=∠DFC,
在△CFG与△CFD中,,
∴△CFG≌△CFD(ASA),
∴FG=FD,
∴FE=FD;
(2)EF=FD仍然成立。
如图③,过点F分别作FG⊥AB于点G,FH⊥BC于点H,
∴∠FGE=∠FHD=90°,
∵∠B=60°,且AD,CE分别是∠BAC,∠BCA的平分线,
∴∠2+∠3=60°,F是△ABC的内心,
∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1,
∵F是△ABC的内心,即F在∠ABC的角平分线上,
∴FG=FH(角平分线上的点到角的两边相等),
又∠HDF=∠B+∠1(外角的性质),
∴∠GEF=∠HDF,
在△EGF与△DHF中,,
∴△EGF≌△DHF(AAS),
∴FE=FD。
核心考点
试题【如图①,OP是∠AOB的平分线,请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法,解答下列问题:(1)如图②,在△ABC中】;主要考察你对全等三角形的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
①AE=BD;②AE⊥BD;③EB=CD;④△ABO的面积等于四边形CDOE的面积,
其中正确的结论有( )(填序号).
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(1)若∠AOB=90°(如图1),小亮发现∠BAC=∠BDC,请你证明这个结论;
(2)若∠AOB=60°(如图2),小亮发现的结论是否仍然成立?说明理由;
(3)若∠AOB为任意角α(如图3),小亮发现的结论还成立吗?说明理由;
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