题目

题型：江苏期中题难度：来源：

如图，以矩形OABC的两边OA和OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为（3，0），C点的坐标为（0，4）。将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为OA₁B₁C₁，BC，A₁B₁相交于点M。
（1）求点B₁的坐标与线段B₁C的长；
（2）将图a中的矩形OA₁B₁C₁沿y轴向上平移，如图b，矩形PA₂B₂C₂是平移过程中的某一位置，BC、A₂B₂相交 于点M₁，点P运动到C点停止。设点P运动的距离x，矩形PA₂B₂C₂与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如图c，当点P运动到点C时，平移后的矩形为PA₃B₃C₃，请你思考如何通过图形变换使矩形PA₃B₃C₃与原矩形OABC重合，请简述你的做法。

答案

（1）OA₁=OA=3， A₁B₁=AB=OC=4
  ∴OB₁=5 ∴B（0，5） B₁C=5-4=1
（2）① S_重叠=S_阴=S_△PA2B2-S_△M1B2C
  ∵OP=x ，PB₂=5 ∴OB₂=5+x
   又∵OC=4 ∴B₂C=x+1
   △A₂B₂P∽△CB₂M₁
  ∴ ∴
   ∴S_△CB2M1= (x+1)² ∴y=
  当M₁与A₂重合时, M₁B₂²=B₂C·BP
   ∴4²= B₂C·5 ∴B₂C=
   ∴x= ∴0≤x≤
②PC=4-x      △PCM₁∽△PA₂B₂
  ∴ ∴
  ∴S_△PCM1=    ∴y=  (＜x＜4)
  ∴综上所述y=  
（3）将矩形PA₃B₃C₃绕点O顺时针旋转∠B₃PA₃的度数，使PA₃ 与PB重合（或PC₃与y轴重合），再把所得图形向下平行4个单位长度，即与矩形OABC重合，使PA₃与OA重合。（答案不唯一）