题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，矩形是由矩形（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕点B逆时针旋转得到的，点在x轴的正半轴上，B点的坐标为 （1，3），与AB交于D点。
（1）求D点的坐标；
（2）如果二次函数（）的图象经过点O、两点且图象顶点M的纵坐标为-1，求这个二次函数的解析式；
（3）若将直线OC绕点O旋转度（）后与抛物线的另一个交点为P，则以O、、B、P为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出的值；若不能，请说明理由。

答案

解：（1）连结BO，BO′，则BO=BO′，
∵BA⊥OO′，
∴AO=AO′，
∵B（1，3），
∴O′（2，0），M（1，-1），
易证△AOD"≌ △C"BD，
∴OD"=BD，
设OD"=m，
则AD=3-m ，
又O"A=1，
∴m²=（3-m）²+1²，即m=，
∴AD=，
即D点坐标为（1，）。
（2）抛物线过O（0，0），O"（2，0），M（1，-1）是顶点，
设y=a（x-1）²-1，则a=1，
 ∴y=（x-1）²-1，
即 y=x²-2x。
（3）O O"=2为平行四边形的边，
∴BP∥OO"，BP=OO"，
设P（x , 3），P在抛物线上，
∴x²-2x=3，解得：x₁=-1，x₂=3，
∴P（-1 ，3）或（3 ，3），
当点P（3，3）时，∠COP=α=45°，tanα=1；
 当点P"（-1，3）时，∠COP"=α，tanα=。