题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动，P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ。设运动时间为t（秒）。
（1）设四边形PCQD的面积为y，求y与t的函数关系式；
（2）t为何值时，四边形PQBA是梯形？
（3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t，使得PD⊥AB？若存在，请估计t的值在括号中的哪个时间段内（0≤t≤1；1＜t≤2；2＜t≤3；3＜t≤4）；若不存在，请简要说明理由。

答案

解：（1）由题意知 CQ=4t，PC=12-3t，
∴S_△PCQ =，
∵△PCQ与△PDQ关于直线PQ对称， 
∴y=2S_△PCQ．
（2）当时，有PQ∥AB，而AP与BQ不平行，这时四边形PQBA是梯形， 
∵CA=12，CB=16，CQ=4t， CP=12-3t， 
∴ ，解得t=2，
∴当t=2秒时，四边形PQBA是梯形．
（3）设存在时刻t，使得PD∥AB，延长PD交BC于点M，如图，
若PD∥AB，则∠QMD=∠B，
又∵∠QDM=∠C=90°，
∴Rt△QMD∽Rt△ABC， 
从而，
∵QD=CQ=4t，AC=12，AB=20，
∴QM=，
若PD∥AB，则，
得，解得t=，
∴当t=秒时，PD∥AB；
（4）存在时刻t，使得PD⊥AB，此时t的值在2＜t≤3 范围内。