题目

题型：江苏模拟题难度：来源：

矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线与BC边相交于点D。
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的函数表达式；
（3）若P为x轴上方（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；
（4）设（2）中抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点Q为对称轴上一动点，以Q、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求符合条件的Q点的坐标。

答案

解：（1）直线与BC交于点D（x，3），
把y=3代入中得，x=4，
∴D（4，3）。
（2）∵抛物线y=ax²+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，
把x=4，y=3；x=6，y=0分别代入y=ax²+bx中得，
，解得：，
∴抛物线的解析式为：。
（3）因△POA底边OA=6，
∴当S_△POA有最大值时，点P须位于抛物线的最高点，
∵<0，
∴抛物线顶点恰为最高点，
∵，
∴的最大值为。（4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，
∵CB∥OA，∠Q₁OM=∠CDO，
∴Rt△Q₁OM∽Rt△CDO，
∵，该点坐标为Q_1（3，0），
过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点Q₂，
∵对称轴平行于y轴，
∴∠Q₂MO=∠DOC，
 ∴Rt△Q₂MO∽Rt△DOC，
在Rt△Q₂Q₁O和Rt△DCO中，
Q₁O=CO=3，∠Q₂=∠ODC，
∴Rt△Q₂Q₁O≌Rt△DCO，
∴CD=Q₁Q₂=4，
∵点Q₂位于第四象限，
∴Q₂（3，-4），
因此，符合条件的点有两个，
分别是Q₁（3，0），Q2（3，-4）。