题目

题型：广西自治区模拟题难度：来源：

如图所示，在平面直角坐标系xoy中， 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm， 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上， 抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B， 且18a+c=0.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动， 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.
①移动开始后第t秒时， 设△PBQ的面积为S， 试写出S与t之间的函数关系式， 并写出t的取值范围.
②当S取得最大值时， 在抛物线上是否存在点R， 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在， 求出R点的坐标， 如果不存在， 请说明理由.

答案

（1）设抛物线的解析式为，由题意知点A（0，-12），
       所以，又18a+c=0，  
     ∵AB∥OC，且AB=6      ∴抛物线的对称轴是
       ∴b=-4
       所以抛物线的解析式为；
（2）①
             t的取值范围；
②当t=3时，S取最大值为9。这时点P的坐标（3，-12），点Q坐标（6，-6）若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况：
（Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，-18），将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在，点R的坐标就是（3，-18）；
（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，-6），将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件。
（Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，-6），将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件。
         综上所述，点R坐标为（3，-18）