题目
题型:北京模拟题难度:来源:
(1)现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△COD(点A落到点C处),求经过B、C、D三点的抛物线的解析式;
(2)将(l)中抛物线向右平移两个单位长度,点B的对应点为点E,平移后的抛物线与抛物线相交于点F,P为平移后的抛物线对称轴上一个动点,连接PE、PF,当|PE-PF|取得最大值时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,当点P在抛物线对称轴上运动时,是否存在点P使△EPF为直角三角形?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
答案
∴OC=OA,OD=OB,
∵A(0,3),B(5,0),
∴C(-3,0),D(0,5),
设过B、C、D的抛物线解析式为y=a(x+3)(x-5),
把D(0,5)代人得a=-;
∴;
(2)由题意可知E点坐标为(7,0),平移前抛物线为
∴向右平移2个单位长度后的抛物线为
解方程组得
∴F(2,5)
作点E关于对称轴x=3的对称点E′,则E′(-1,0),
∵|PE-PF|=|PE′-PF|≤E′F,
∴直线E′F与对称轴的交点P是所求的点,
设直线E′F的解析式为y=kx+b,则有2k+b=5,-k+b=0
解得k=,b=,
∴直线E′F的解析式为y=x+,
∴当x=3时,y=,
∴当|PE-PF|取得最大值时,P点坐标为(3,);
(3)设P(3,m),由(2)知E(7,0),(2,5),
则PE2=(7-3)2+m2=m2+16,
EF′=(7-2)2 +52=50,
PF′=(3-2)2+(m-5)2=m2-10m+26,
①若∠PEF=90°,则PE2+EF2=PF2,
即m2+16+50=m2-10m+26,
解得m=-4,
∴P1(3,-4),
②若∠PFE=90°,则PF2+EF2=PE2,
即m2-10m+26+50=m2+16,
解得m=6,
∴P2(3,6),
③若∠FPE=90°,则PF2+PE2=EF2
即m2-10m+26+m2+16=50,
解得
∴
综上所述,存在点P使△EPF为直角三角形,坐标分别是P1(3,-4),P2(3,6),。
核心考点
试题【如图,在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点A、B的坐标分别为A(0,3)和B(5,0),连接AB。 (1)现将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°,得到△COD】;主要考察你对二次函数的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求直线和抛物线的解析式;
(2)如果点P和点Q同时出发,运动时间为t(秒),试问当t为何值时,△PQA是直角三角形;
(3)在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得△ACD的面积最大?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由。
(1)如果△APD是等腰三角形,求x的值;
(2)若设BE=y,求y关于x的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,是否存在点P,使得PQ经过点C?若存在,求出相应的AP的长;若不存在,请说明理由,并直接写出BC的长在什么范围内时,存在这样的点P,使得PQ经过点C。
(1)求证:无论m为任何实数,该二次函数的图象与x轴都有两个交点;
(2)当该二次函数的图象经过点(3,6)时,求二次函数的解析式;
(3)将直线y=x向下平移2个单位长度后与(2)中的抛物线交于A、B两点(点A在点B的左边),一个动点P自点A出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后到达点B,求使点P运动的总 路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长。
(2)将∠EBF绕点B顺时针旋转,角的一边交y轴正半轴于点M,另一边交x轴于点N,设BM与(1)中抛物线的另一个交点为点G,且点G的横坐标为,EM与NO有怎样的数量关系?请说明你的结论;
(3)点P在(1)中的抛物线上,且PE与y轴所成锐角的正切值为,求点P的坐标。
(1)求抛物线顶点M的坐标;
(2)若抛物线与x轴分别交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点N为线段BM上的一点,过点,N作x轴的垂线,垂足为点Q,当点N在线段BM上运动时(点N不与点B、点M重合),设NQ的长为t,四边形NQAC的面积为S,求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围;
(3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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