题目

题型：北京模拟题难度：来源：

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-x²+mx+n经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个单位长度的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍。
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）∵直线y=kx-3过点A（4，0）
∴0=4k-3，解得k=，
∴直线的解析式为y=x-3，
由直线y=3x-3与y轴交于点C，可知C（0，-3）
∵抛物线y=-x²+mx+n经过点A（4，0）和点C，
∴-×4²+4m-3=0，解得m=，
∴抛物线解析式为：y=；（2）对于抛物线y=，
令y=0，则-x²+x-3=0，解得x₁=1，x₂=4
∴B（1，0）
∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t
①若∠Q₁P₁A=90°，则P₁Q₁//OC（如图（1））
∴△AP₁Q₁∽△AOC
，
，解得t=；
②若∠P₂Q₂A=90°
∵∠P₂AQ₂=∠OAC
∴△AP₂Q₂∽△ACO，
，
，解得t=，
③若∠QAP=90°，此种情况不存在，
综上所述，当t的值为或时，△PQA是直角三角形；（3）存在，理由：过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图（2））
∴S_△ADF=DF·AE，S_△CDF=DF·OE
∴S_△ACD=S_△ADF+S_△CDF=DF·AE+DF·OE=DF×（AE+OE），
=×（DE+EF）×4=×（-x²+x-3-x+3）×4=-x²+6x，
∴S_△ACD=-（x-2）²+6（0<x<4）
又0<2<4且二次项系数-<0，
∴当x=2时，S_△ACD的面积最大，
而当x=2时，y=，
∴满足条件的D点坐标为D（2，）。
（2）