题目

题型：河北省模拟题难度：来源：

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，点P从点B开始沿BC边以每秒1cm的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2cm的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E，点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、P停止运动，设它们运动的时间为xcm。
（1）当x=_______秒时，射线DE经过点C；
（2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为ycm²，求y与x的函数关系式（不用写出自变量取值范围）；
（3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

答案

解：（1）x=2；
当DE经过点C时，
∵DE⊥PQ，PD=QD，
∴PC=CQ，PC=6-x，CQ=2x，
即6-x=2x，得x=2，
∴当x=2时，当DE经过点C；（2）分别过点Q、A作QN⊥BC，AM⊥BC垂足为M、N，
∵AB=AC=5cm，BC=6cm，
∴（cm）
∵QN∥AM，∴△QNC～△AMC，
∴，即，
又PC=6-x，
∴
∴
即；（3）存在．理由如下：
∵DE⊥PQ，
∴PQ⊥AC时△PQC∽△PDE，
此时，△PQC∽△AMC，
∴
即
∴。