题目

题型：辽宁省中考真题难度：来源：

如图，已知Rt△ABO，∠BAO=90°，以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，AO=3，∠AOB=30°，将Rt△ABO沿OB翻折后，点A落在第一象限内的点D处。
（1）求D点坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过B、D两点，求此抛物线的表达式；
（3）若抛物线的顶点为E，它的对称轴与OB交于点F，点P为射线OB上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，是否存在点P，使得以E、F、M、P为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由，参考公式：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是。

答案

解：（1）过点D作DC⊥x轴于点C，如图（1），
由翻折可知：DO=AO=3，∠AOB=∠BOD=30°，
∴∠DOC=30°，
在Rt△COD中，
OC=OD·cos30°=3×，
CD=OD·sin30°=3×，
∴D；

（1）

（2）在Rt△AOB中，AB=AO·tan30°=3×，
∴B（，3），
∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过B（，3），D两点，
∴
解得
∴此抛物线表达式为y=-； （3）存在符合条件的点P，设P（x，y），作EH⊥PM于点H，FG⊥PM于点G，如图（2），
∵E为抛物线y=-的顶点，
∴E，
设OB所在直线的表达式为y=kx，将点B（，3）代入，得k=，
∴y=x，
∵P在射线OB上，
∴P（x，x），F，
则H，G，
∵M在抛物线上，M，
要使四边形EFMP为等腰梯形，只需PH=GM，

即
解得，，
∴P₁点坐标为（2，6），P₂点坐标为。

（2）