题目

题型：四川省中考真题难度：来源：

如图二次函数的图象经过点D（0，），且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6。
（1）求二次函数的解析式；
（2）该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。

答案

解：（1）设二次函数的解析式为：y=a(x-h)²+k，
∵顶点C的横坐标为4，且过点（0，）
∴y=a(x-4)²+k， ①
又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，
∴A(1，0)，B(7，0)
∴0=9a+k②，
由①②解得a=，k=，
∴二次函数的解析式为：；
（2）∵点A、B关于直线x=4对称
∴PA=PB
∴PA+PD=PB+PD≥DB
∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值
∴DB与对称轴的交点即为所求点P
设直线x=4与x轴交于点M
∵PM∥OD，
∴∠BPM=∠BDO，
又∠PBM=∠DBO
∴△BPM∽△BDO
∴
∴
∴点P的坐标为（4，）；
（3）由（1）知点C(4，)，
又∵AM=3，
∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，
∴∠ACM=60°，
∵AC=BC，
∴∠ACB=120°，
①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，
由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120^o，则∠QBN=60^o，
∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，
如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)
②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)，
经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上，
综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为
(10，)或(-2，)或(4，)。