题目

题型：不详难度：来源：

如图1，已知Rt△ABC中，AB=BC，AC=2，把一块含30°角的三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），点C在DE上点B在DF上．
（1）求重叠部分△BCD的面积；
（2）如图2，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，DE交BC于点M，DF交AB于点N，①请说明DM=DN；②在此条件下重叠部分的面积会发生变化吗？若发生变化，请求出重叠部分的面积，若不发生变化，请说明理由；
（3）如图3，将直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转α度（0＜α＜90），DE交BC于点M，DF交AB于点N，则DM=DN的结论仍成立吗？重叠部分△DMN的面积会变吗？（请直接写出结论不需说明理由）

答案

（1）∵AB=BC，AC=2，
∴CD=

1

2

AD=1，
则△BCD的面积是

1

2

×CD?BD=

1

2

×1×1=

1

2

；

（2）作DQ⊥BC，DP⊥AB分别于点Q，P，
又∵AB=BC，CD=AD，
∴∠A=∠C，
∴△CDQ≌△ADP，
∴DQ=DP，
则四边形BQDP是正方形．
∵∠EDQ+∠QDN=∠NDP+∠QDN
∴∠EDQ=∠NDP
又∵∠MQD=∠NPD
∴△MDQ≌△NDP，
∴DM=DN，
∴直角三角板DEF绕D点按顺时针方向旋转30度，此条件下重叠部分的面积等于正方形BQDP的面积是DQ²=1²=1．

（3）DM=DN的结论仍成立，面积不会变．